Combien de carrés est-il possible de réaliser en reliant 4 points parmi cette grille de point 5 par 5?

Le nombre de carrés possible est très élevé! Procédons par étape :

---

1/ la grille de 5 par 5 points correspond à une grille de 4 carrés par 4 : on peut réaliser à partir de cette grille, en suivant les lignes, un grand carré 4*4, puis 4 carrés 3*3, puis 9 carrés 2*2, et enfin 16 carrés 1*1, ce qui nous fait un total de 30 carrés.

---

2/ Mais on peut également réaliser des carrés oblique à 45°, comme le montre la figure suivante : il y aura alors 1 grand carré possible de côté "2 diagonales" et 9 petit carrés de côté "1 diagonale". Ceci augmente le total à 40 carrés.

---

3/ Mais ce n'est pas tout ! on peut encore réaliser des carrés obliques entre 0 et 45°, comme le montre la figure ci-dessous : il y'a 2 grands carrés possibles et 8 petits carrés possibles. Le total de carrés possibles est finalement de 50 carrés!

... se regardaient en chien de faïence, chacune prête à sauter à la gorge de sa voisine. Est-il possible de séparer et positionner ces matrones, de telle sorte que chacune de ces reines ne puissent faire le moindre mal aux 7 autres?

Solution :

Comment, en deux coup droit de ciseaux, peux-t-on couper dans ce polygone de quoi réaliser un carré?

Combien y'a-t-il de rectangles dans la figure ci-contre?

36! Il y'a deux pièges à éviter : d'une part, il ne faut pas exclure les carrés, car ceux-ci sont bel et bien des rectangles, bien que cas particuliers de rectangle. D'autre part, il ne faut pas oublier l'image elle même dont le cadre est un carré.

Dans la figure en jaune, on peut dénombrer 10 petits rectangles, puis 7 carrés de deux rectangles, 6 rectangles composés de trois petits rectangles, 6 gros rectangles composés de quatre petits rectangles, 4 gros rectangles composés de cinq petits rectangles et enfin 2 grands rectangles composés de six petits rectangles. Cela donne un total de 10+7+6+6+4+2 = 35 rectangles. Si l'on ajoute le dernier composé par l'image elle même, cela fait bien 36!

Serait-il possible de créer 3 parties semblables remplissant exactement tout l'espace couvert par cette forme étrange?

Solution :

Parfaitement possible! On a tendance instinctivement à chercher des formes homogènes et relativement compactes, et à les emboîter pour obtenir la forme initiale, mais rien n'interdit de suivre directement les bords de la forme pour créer des parties superposables et qui se suivent.

Combien y'a-t-il de triangles dans cette figure?

Il y'a 16 petits triangles, 7 triangles composés de 4 petits (dont 6 avec la pointe en haut et un avec la pointe en bas) 3 triangles composés de 9 petits, et 1 grand triangle englobant l'ensemble des petits. Il y'a donc 27 triangles en tout.