3 gendarmes mettent 3 minutes pour verbaliser 3 conducteurs. 1/ Combien faut-il de gendarmes pour verbaliser 60 conducteurs en une heure? 2/ Et combien faut-il de temps à 3 gendarmes pour verbaliser 1 conducteur?

1/ Seulement 3! D'après l'énoncé, il faut aux trois gendarmes, 3 minute pour 3 conducteurs, donc 6 pour 6 conducteurs, donc... 60 minutes pour 60 conducteurs

2/ impossible de le savoir exactement, mais il faut entre 1 et 3 minutes. Contrairement à la question précédente, on ne peut pas déduire la relation :

 

"3 gendarmes mettent 3 minutes pour verbaliser 3 conducteurs" donc "3 gendarmes mettent 1 minute pour verbaliser 1 conducteur", qui est une déduction logiquement fausse.

Cette relation n'est vraie que si la verbalisation d'un conducteur nécessite les trois gendarmes - mais on peut tout à fait supposer que chaque gendarme ait besoin de 3 minutes pour verbaliser un conducteur. Dans ce cas, 3 gendarmes ont bel et bien la possibilité de verbaliser 3 conducteurs, chacun en verbalisant un séparément (l'énoncé est alors respecté), mais pour verbaliser un seul et unique conducteur, il faudra 3 minutes à un gendarme pour verbaliser, tandis que les deux autres se tourneront les pouces. Ce qui n'est pas qu'un cas théorique, par ailleurs.

Combien de carrés est-il possible de réaliser en reliant 4 points parmi cette grille de point 5 par 5?

Le nombre de carrés possible est très élevé! Procédons par étape :

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1/ la grille de 5 par 5 points correspond à une grille de 4 carrés par 4 : on peut réaliser à partir de cette grille, en suivant les lignes, un grand carré 4*4, puis 4 carrés 3*3, puis 9 carrés 2*2, et enfin 16 carrés 1*1, ce qui nous fait un total de 30 carrés.

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2/ Mais on peut également réaliser des carrés oblique à 45°, comme le montre la figure suivante : il y aura alors 1 grand carré possible de côté "2 diagonales" et 9 petit carrés de côté "1 diagonale". Ceci augmente le total à 40 carrés.

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3/ Mais ce n'est pas tout ! on peut encore réaliser des carrés obliques entre 0 et 45°, comme le montre la figure ci-dessous : il y'a 2 grands carrés possibles et 8 petits carrés possibles. Le total de carrés possibles est finalement de 50 carrés!

Jacques joue à un nouveau jeu télévisé nommé Loto-boules. Il doit piocher au hasard dans un sac de boules autant de boules qu'il le peut, une par une. Dès que 4 boules de la même couleur sont sorties, le jeu s'arrête et on calcule le montant gagné par le candidat, selon la couleur des boules, en additionnant la valeur de toutes les boules sorties du sac : 1 boule noire vaut 1 euro, une boule rouge vaut 5 euro, une boule bleue vaut 10 euros, et enfin, une boule jaune vaut 20 euros. Combien le candidat peut il gagner au minimum, et au maximum, à ce jeu?

Solution : 

Au minimum et en ayant très peu de chance, le candidat retire d'emblée, à la suite, 4 boules noires, il ne gagne dans ce cas que 4 euros. Le maximum ne vaut cependant pas seulement 4 fois 20 euros : avec le maximum de chance, avant de tirer la 4ème boule jaune, le candidat peut avoir tiré 3 boules noires, 3 boules rouges, 3 boules bleues et 3 boules jaunes. Le total s'élève donc au maximum à 3 + 15 + 30 + 80 = 128 euros!

Pouvez-vous retrouver la valeur de chacun des jetons représentés sur la figure ci-dessus?

Solution :

Donnons des lettres aux jetons : V pour vert, R pour rouge, B pour Bleu et J pour Jaune. Les première et dernière équations nous indiquent que V + V = 2(V x V). Cela équivaut à V = (V/V + V/V)/2, donc V = 1. On en déduit R = 2.

Les deuxième et troisième équations indiquent que 

(2) : B = J - V = J - 2 donc

(3) : 2J - 2 = 2 + J donc J = 2 + 2 = 4
On en déduit donc B = 4 - 1 = 3

Alain Senelle réalise son entrainement quotidien à vélo. Il parcoure la distance qui le sépare du sommet de la colline la plus proche, dont le dénivelé est d'un kilomètre, en 30 minutes, avec une moyenne de 25 km/h. Bien entendu, il est beaucoup plus rapide en descendant chez lui (par le même chemin) mais en combien de temps devra-t-il faire le trajet retour pour que sa moyenne global (aller-retour) soit de 50 km/h?

Tout bonnement impossible! Il ne peut pas doubler sa moyenne sur un trajet et son retour, tout simplement parce que l'aller représente exactement dans ce cas le temps qu'il faudrait globalement pour qu'il puisse doubler cette moyenne de vitesse.

Illustrons le problème en simplifiant les chiffres (multiplions par 2 la distance aller et retour). En 60 minutes, avec une moyenne de 25 km/h, il parcoure 25 km. Or, pour avoir une moyenne totale de 50 km/h, il devrait revenir instantanément! en ce cas, il aurait parcouru 50 km dans l'heure qu'il lui a fallu pour parcourir l'aller seulement. Mais la téléportation n'est pas à la portée de tout le monde ( Même du grand Alain!).

Vous disposez de 3 verres comme celui présenté dans la figure ci-contre, et de 10 pièces de 1 euros. Est-il possible de remplir les verres avec des pièces, de telle sorte que chaque verre contienne un nombre impair de pièces?

Avec ruse, bien évidemment : il faut placer x pièces dans un verre A, puis 10-x dans un verre B (par exemple, 3 pièces dans A et 7 pièces dans B). On place ensuite l'un des verres dans le verre C, qui contient alors non seulement un verre, mais également les pièces que ce verre contient!

Si on part du principe que : 

1 = 4

2 = 8

3 = 16

4 = ?

On confond facilement, à cause de la forme, ces principes avec une suite. Or, il ne s'agit pas d'une suite car il n y a pas correspondance (-->) mais égalité (=). Or, selon le premier principe, 1 = 4, donc la réponse est 4 = 1.

Le chef d'une entreprise invite en réunion 6 de ses employés. Il leur explique alors qu'il souhaite leur donner deux semaines de vacances pendant les mois de juillet et août, leur demande quand ils souhaiteraient partir tout en disant qu'il se réserve la possibilité de modifier l'un des souhaits, car il faut qu'il y'ait toujours 5 employés au moins (sans inclure le chef) dans l'entreprise.

- Marc dit qu'il veut partir dès le premier Juillet.

- Jean dit qu'il veut partir en juillet, après Marc, mais avant Bob

- Bob dit qu'il veut partir après Richard, mais avant Bertrand.

- Richard demande quant à lui à partir avant Bertrand, mais en août.

- Bertrand souhaite prendre ses vacances à partir du 15 août.
- Philippe demande quant à lui à partir avant Richard

Quel unique souhait le chef d'entreprise doit il modifier pour que ses six employés voient leurs vœux exaucés?

Quoiqu'il arrive, puisqu'il y'a 6 personnes et seulement 8 semaines entre le départ du premier et la fin des vacances du dernier, il y'aura forcément deux mécontents... ou un seul si le départ de Bertrand est repoussé de 15 jours. L'énoncé est en lui même fallacieux : le chef d'entreprises essaie tout simplement de coller 12 semaines de vacances sur deux mois de 4 semaines chacun!

Le seul souhait que le chef d'entreprise puisse modifier afin que tout le monde ait ses vacances au moment où il le désire, est le sien propre : on précise bien dans l'énoncé que le chef d'entreprise souhaite donner deux semaines de vacances à chacun. Au final, s'il modifie ce souhait et ne donne par exemple qu'une semaine, il pourra envoyer en vacances Marc, puis Jean,  puis Philippe, puis Richard, puis Bob, puis Bertrand.

Mon voisin et moi, habitons sur deux terrains plats. Bien qu'ils aient tous deux la même longueur et un type de végétation semblable, mon terrain, lorsqu'il neige, reçoit toujours deux fois plus de neige. Comment cela se peut-il?

Que les terrains aient la même longueur, ne signifie pas qu'ils aient la même largeur! Mon terrain a une largeur deux fois plus grande, donc une superficie deux fois plus grande, il est normal qu'il reçoivent donc deux fois plus de neige lorsque le temps s'y prête!

9 boules de billard, chacune numérotée, de 1 à 9. On sait que l'une seulement d'entre elles n'a pas le même poids que les autres (attention : sans savoir si elle est plus lourde ou plus légère), et l'on dispose d'une balance à plateau. Sauriez-vous trouver la boule différente en trois pesées seulement?

On commence par mesurer les boules 1+2+3 contre 4+5+6. Deux cas s'offrent alors : 

Cas 1 : Si la balance ne penche pas, la boule différente est soit 7, soit 8, soit 9. il suffit de comparer 7+8 et 7+9. Si la balance penche dans les deux cas, c'est la boule 7 qui est différente. Si elle penche seulement entre 8 et 7, alors c'est 8 qui diffère. Si la balance ne penche qu'avec 7 et 9, c'est alors 9 qui diffère.

Cas 2 : la balance penche. on regarde donc 1+5 contre 2+6. 

9 boules de billard, chacune numérotée, de 1 à 9. On sait que l'une seulement d'entre elles est plus lourde que les autres, et l'on dispose d'une balance à plateau. Sauriez-vous trouver la boule différente en deux pesées seulement?

Le cas est finalement simple si l'on pense à faire plus de deux tas :

on commence par mesurer les boules 1+2+3 contre 4+5+6. Si la balance penche à gauche, la boule lourde est soit 1, soit 2, soit 3. Si la balance penche à droite, c'est 4, 5 ou 6. S'il n'y a pas de différences, alors c'est 7, 8 ou 9.

Il suffit ensuite de suivre le même raisonnement pour le groupe de 3 boules qui aura été le plus lourd. Par exemple, si c'était le premier groupe, on réalise alors la pesée 1 contre 2. Si la balance penche à gauche, 1 est la plus lourde. Si la balance penche à droite, alors 2 est la plus lourde. S'il n y a pas de différences, alors 3 est la plus lourde.

12 boules de billard numérotées de 1 à 12. L'une d'elles n'a pas le même poids que les autres mais diffère si légèrement qu'il est impossible de la reconnaitre à la main. Mais vous disposez d'une balance à deux plateaux pour la trouver. Sauriez-vous trouver de quelle boules il s'agit, en seulement 3 pesées?

Plus compliquée que la précédente mais possible du fait que les boules soient numérotées. Il suffit de partager les boules en tas différent au fur et à mesure des pesées.

Par exemple, la première pesée tentera de différencier le groupe 1, 2, 3, 4 et 5, 6, 7, 8.

S'il n y a pas de différence, on passe directement aux boules 9, 10, 11 et 12 et en deux pesées, il est aisé de reconnaitre la boule qui a un poids différent : on regarde 9 contre 10.

Il faut dans ce cas indiquer la direction dans laquelle penche la balance. Par exemple

on regarde alors 1+2+3+8 contre 9+10+11+4

puis 1+5+9+4 contre 2+6+10+12

on obtient ainsi le tableau : 

1+2+3+4 - 5+6+7+8

1+2+3+8 - 9+10+11+4

1+5+9+4 - 2+6+10+12

On peut alors suivre en descendant ce tableau, l'orientation selon qu'on considère une boule ou une autre. Par exemple, on suit la boule 1, on remarque que si elle est plus lourde qu'une boule normale, alors la balance a toujours penché vers la gauche. Si elle est plus légère, alors la balance aura toujours penché à droite.

Dans chaque cas, selon l'orientation de la balance, on pourra déterminer quel est la boule de départ qui diffère des autres : 

Il n y a bien aucun cas identique et donc, la possibilité de différencier spécifiquement quelle boule est différente. Il est même possible de préciser si elle est plus lourde ou plus légère que les autres boules...

... Mais bien sûr, il faut avoir le temps et l'esprit tortueux!

Lors de la dernière étape 4 roues du Paris-Dakar, le champion en titre crève le pneu de sa roue avant droite sur un caillou. Il déboulonne 5 boulons de cette roue, la change avec la roue de secours, mais se rend compte qu'au moment de re-boulonner, il a perdu trois boulons... Il décide de prendre l'un des boulons de la roue arrière gauche pour rajouter un boulon sur la roue avant droite. Il range alors ses outils et la roue crevée dans le coffre, puis repart. Au premier virage, il tourne à gauche sur un angle de 45° à 50 km/h.  Quelle(s) roue(s) tourne(nt) le moins vite?

Comme souvent, la profusion d'information interfère avec la réflexion, distrait et empêche de voir la solution évidente. Il n y a pas 4 roues mais 5, puisqu'il y'a une roue crevée dans le coffre. Et celle-ci ne tourne pas, c'est donc celle qui "tourne le moins vite"! L'histoire des boulons n'est là que pour introduire plus de confusion dans l'énoncé!

Mme Colombo constate que la boîte de bonbon de la cuisine a disparu. Elle appelle aussitôt ses trois enfants. Charles, le cadet, est jeune est dit toujours la vérité. Henri et Jean sont de faux jumeaux : il leur arrive de mentir, mais il y'en a toujours au moins un des deux qui dit la vérité.

Henri dit alors : "Ce n'est pas moi qui ai volé les bonbons!"

Jean répond : "Je ne suis pas sorti de ma chambre!"

Charles affirme alors : "C'est impossible qu'Henri les aie volé."

Qui a volé les bonbons?

Solution : 

Charles a volé les bonbons :

Si Henri dit la vérité, il n'a pas volé les bonbons, et Jean peut soit mentir, soit dire la vérité. Le coupable peut donc être soit Jean, soit Charles.

S'il ment, alors Jean dit la vérité et ce n'est pas lui qui a volé. Mais on ne sait pas non plus si c'est Henri ou Charles qui a volé les bonbons.

Charles ne peut pas savoir qui est le voleur avec ces données, pourtant, il affirme que ce n'est pas Henri. Une seule explication possible, c'est parce qu'il sait que c'est lui même, le voleur!

Certains mois comportent 31 jours, certains mois comportent 30 jours. Combien en comportent 28?

12, c'est-à-dire tous! 6 mois comportent 31 jours, 11 mois comportent au moins 30 jours, mais tous ont au moins 28 jours.

Nostradamus pouvait, parait-il, répondre avec exactitude à n'importe quelle question concernant les évènements futurs. Quelle question auriez-vous pu lui soumettre pour démontrer le contraire?

Cette question n'est qu'un exemple, il en existe d'autres mais dans tous les cas, le but de la question est de provoquer un paradoxe.

Que Nostradamus réponde "oui" et il se trompe puisque sa réponse n'aura finalement pas été "non". A l'inverse, s'il répond "non", il ne répondra pas avec exactitude, et donc, démontrera lui-même qu'il ne peut pas répondre avec exactitude à propos d'un évènement futur. 

La question est fermée et ne peut admettre que deux réponses, impossible dans ce cas là, "oui" ou "non". Il existe des réponses qui peuvent être vraie (comme par exemple "pas forcément") mais qui ne seront pas exactes strictement, mais évasives ou incomplètes - et qui donc, ne répondront pas exactement à la question, ou tout simplement, répondront à une autre question.

Un bookmaker prétendait "pouvoir donner le score de n'importe quel match de foot, avant même que le match ne commence". A la demande des supporters, un comité scientifique s'est alors dépêché sur place pour étudier ce phénomène. Les scientifiques ont alors conclu que le bookmaker disait vrai. Comment faisait le bookmaker?

Le bookmaker ne prétendait pas donner le score du match une fois celui-ci terminé, mais seulement ce score avant que le match commence! Il disait donc toujours "0 à 0", ce qui est bien le score de tout match de foot avant que la partie ne commence!

8 enfants réalisent une ronde en se tenant la main, la ronde fait ainsi 8 mètres de circonférence, chaque enfant prenant autant de place que les autres. Un nouveau camarade arrive et se propose de rejoindre la ronde. De combien de centimètres devra reculer chaque enfant? Et si la ronde comportait 1000 enfants et qu'un 1001ème veuille y rentrer?

Si 8 enfants réalisent une ronde de 8 mètres de circonférence, et que chacun prend autant de place que les autres, c'est que chaque enfant correspond à 1 mètre de cette ronde. Il faudra rajouter un mètre à la circonférence pour accueillir un nouvel enfant.

Or, lorsque la ronde comprend 8 enfant, le rayon du cercle correspondant à cette ronde est de 4/π mètres. (Rappelons que le périmètre d'un cercle est 2πr). Pour une ronde de 9 mètres, le rayon devra donc être de 4,5/π, il faudra donc que chaque enfant recule de 0,5π mètres.

Ce rapport est exactement le même quelque soit la taille de la ronde : pour 1000 enfants, le rayon est 500/π, et un enfant de plus ajoutera 1 mètre, la nouvelle ronde aura donc un rayon de 500,5/π.

Autrement dit, lorsqu'un nouvel enfant vient dans la ronde, tout le monde doit se reculer de 0,5/π mètres, et ce, quelque soit la taille initiale de la ronde, qu'il y'ait 5 enfants ou bien 10 000. A chaque fois, tous les enfants devront se reculer de 0,5/π, qui vaut à peu près 16 centimètres.